Матеріал з Ukrainian Logical Encyclopedia

Алфаві́т — непорожня множина попарно розрізненних символів. Елементи алфавіту називаються його буквами. Скінченні послідовності записів букв даного алфавіту називаються словами в цьому алфавіті. Множина всіх слів у деякому алфавіті називається формальною мовою із цим алфавітом.

Неформально висловлюючись, алфавіт є сукупністю вихідних знаків, з яких вибудовуються всі виражальні засоби, належні мові, заснованій на даному алфавіті.

Поняття алфавіту є одним із основних понять теорії формальних мов, котра, у свою чергу, лежить в основі логічного синтаксису.

Зміст 1 Про термін 1.1 Означення 1.2 Походження та етимологія 1.3 Переклад на інші мови 2 Властивості алфавітів та відношення між ними 2.1 Алфавітні слова 2.2 Класифікація символів алфавітів 2.3 Відношення між алфавітами 2.4 Найпростіші алфавіти 2.5 Представлення алфавітів 3 Джерела

Про термін

Слово «алфавіт» — логічний термін, вводиться в теорії формальних мов.

Означення

Алфавітом називають будь-яку непорожню множину попарно розрізненних символів.

Походження та етимологія

Слово «алфавіт» походить з грецької мови, де має форму αλφάβητο; утворене від назв двох перших букв грецького алфавіту — букви α («альфа») і β («віта» в новогрецькій мові).

Переклад на інші мови

англ. — alphabet
рос. — алфави́т

Властивості алфавітів та відношення між ними

Алфавітні слова

Практично завжди букви алфавіту перелічують не у випадковій послідовності, а в деякій фіксованій. Таку фіксовану послідовність називають алфавітним словом; саме її завчають у школах у випадку алфавітів природних мов. Оскільки всяке алфавітне слово вичерпно характеризує відповідний алфавіт, розгляд алфавітів завжди можна замінити на розгляд алфавітних слів. Однак, оскільки порядок букв у алфавітному слові несуттєвий з точки зору властивостей алфавіту, таку заміну не проводять, а самі алфавіти вивчають лише з точністю до рівноскладеності (складеності з однакових букв).

Класифікація символів алфавітів

Див.: буква.

Відношення між алфавітами

Нехай A, B — алфавіти, і A ⊆ B. В такому разі A називається підалфавітом або звуженням алфавіту B, а B, відповідно, називається надалфавітом або розширенням алфавіту A.

Найпростіші алфавіти

Найпростішими серед алфавітів є однобуквові. Слова в таких алфавітах відрізняються одне від одного тільки довжиною (кількістю букв), а тому можуть використовуватися для представлення довжини слів у будь-яких алфівітах. Як правило, для такої мети обирають алфавіт, єдиною буквою якого є вертикальна паличка ‘|’; математики-конструктивісти часом ототожнюють слова в такому алфавіті — Λ, ‘|’, ‘||’, ‘|||’, ... — з натуральними числами. В однобуквових алфавітах можна записувати лише окремі вирази (слова), але не тексти, оскільки для формування останніх потрібен окремий символ (пробіл), який би відділяв слова одне від одного, в той час як в однобуквових алфавітах є лише одна буква, і вона вживається для формування самих слів.

Для формулювання текстів потрібен не менш як двобуквовий алфавіт. В загальному випадку одна із його букв має слугувати пробілом; однак, в деяких спеціальних випадках можна обійтися без пробілу. Так, для представлення натуральних чисел можна використати двобуквовий алфавіт, напр.: {1, 2}, в якому ці числа записуватимуться у вигляді послідовностей, в котрих за записом першої букви ‘1’ ітиме послідовність будь-якої натуральної кількості записів букв ‘2’; відтак, ці слова матимуть вигляд ‘1’, ‘12’, ‘122’, ‘1222’ і т. д. Їх можна писати, не розділяючи, оскільки початок кожного з них однозначно визначений буквою ‘1’.

Представлення алфавітів

Алфавіти бувають скінченними і нескінченними. Іноді поняття алфавіту звужують до поняття скінченної множини символів, проте, часто буває зручно нескінченні запаси символів також називати алфавітами; так, множини змінних у будь-якій мові нескінченні, і такі множини нерідко розглядаються як окремі алфавіти змінних. Наприклад, кажуть:

розглянемо нескінченний список символів a, b, c, a₁, b₁, c₁, ..., які називатимемо вільними індивідними змінними...

Оскільки ж неможливо окремо задати нескінченну кількість букв, елементи нескінченних алфавітів представляють словами деяких інших — скінченних — алфавітів. Така процедура називається кодуванням нескінченного алфавіту у скінченному. Кодувати можна і скінченні алфавіти. Найпростішими алфавітами, в яких можна закодувати будь-який інший алфавіт, є двобуквові алфавіти.

Джерела

1. Карри Х. Основания математической логики. Пер. с англ. – М.: Мир, 1969. – 568 с.
2. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. – М.: Наука, 1965. – 392 с.
3. Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. – М.: Наука, 1984. – 432 с.
4. Смальян Р. Теория формальных систем. Пер. с англ. – М.: Наука, 1981. – 208 с.